¡Hay en la actualidad tanta literatura publicada en Internet sobre este tema que unos momentos antes de comenzar a desarrollar este artículo casi optamos por abandonar la labor y pasar a otro asunto!. Sinceramente, durante cierto tiempo experimentamos bastante indecisión para acometer esta iniciativa.

Sin embargo, al final se impusieron las ganas y la voluntad de divulgar unos conocimientos que, en muchísimas ocasiones, aquellas personas interesadas no tienen suficientemente claros.

Efectivamente, nos referimos a las célebres y famosas "Leyes de Kirchhoff", una especie de bestia negra de algunos estudiantes en sus correspondientes exámenes de tecnología o ingeniería, y muro insalvable para algunos aficionados e incluso profesionales de la electricidad y/o la electrónica.

Pero... ¿en realidad son tan complicadas y enrevesadas estas dos leyes promulgadas por el ínclito prusiano Gustav Robert Kirchhoff mientras todavía era un estudiante?... ¿por qué a determinados individuos les cuesta tanto entenderlas?... ¿tan elevado es su nivel de dificultad?.

Con este artículo vamos a hacer que comprendas los entresijos de las dos leyes de Kirchhoff. Te las mostraremos "con pelos y señales". Pero antes es imprescindible que repasemos algunos conceptos básicos de análisis de circuitos eléctricos. ¡Tranquilo...!. Hemos dicho "conceptos básicos" y no un curso completo sobre el tema.

¿Te atreves?.... Pues pasa adentro...

En realidad, las leyes de Kirchhoff se resumen a un par de frases con varias decenas de palabras. Sin embargo, aunque aparentan una simpleza extrema, cuando pasamos al campo de la implementación y pretendemos aplicarlas a un determinado circuito la cosa puede cambiar drásticamente.

Un asunto que parecía tan sencillo ahora nos bloquea la mente o, como diría un buen amigo mio, nos "calienta el tarro" hasta tal punto que acabamos con dolor de cabeza. Algunos no saben por donde "meterle mano" a la tarea. Otros la comienzan y son incapaces de acabarla. ¿A que se debe esto?.

1. La mayoría de las veces es debido a un entendimiento erróneo de los conceptos fundamentales en los que se apoyan, o dicho de otra manera, a no conocer exactamente el significado de algunos términos utilizados en ellas en el momento de la resolución de un circuito.

2. También hay personas que manifiestan la dificultad que supone el uso obligatorio de ecuaciones algebraicas.

En este artículo solo tocaremos a fondo la primera de estas dos cuestiones. El segundo punto, o sea la resolución de sistemas de ecuaciones, lo dejaremos para otra ocasión. No obstante, si que te enseñaremos a plantear estas últimas y además desarrollaremos completamente hasta el final un ejemplo de circuito. Sea como sea, lo primero es lo primero.

HAY QUE SENTAR LAS BASES
¡Exacto!. Lo que dice el título de este subtema es lo que hemos de hacer antes que nada si queremos tener éxito en esta empresa. ¡Empecemos la casa por los cimientos!.

Quizás estás acostumbrado a usar la ley de Ohm y a estas alturas la aplicas casi con los ojos cerrados. La mencionada ley es muy útil para solucionar problemas en circuitos elementales en los que hay presente una sola batería o una sola fuente de alimentación y algunas resistencias. Además es un complemento necesario en la resolución de circuitos.

Sin embargo, la ley de Ohm por sí sola no es suficiente cuando tenemos que resolver un circuito en el que cohabitan dos o mas generadores de tensión interconectados. Si no crees lo que decimos intenta averiguar todos los valores que se solicitan en el aparentemente sencillo esquema siguiente, usando solo la ley de Ohm.

¡Que...!. ¿Lo consigues o no lo consigues?. ¡En esencia es un esquema muy simple!. ¿Eres capaz de efectuar los cálculos indicados usando solo la ley de Ohm?. La verdad es que lo tienes muy difícil. Lo mejor será que aprendamos a hacer estos cálculos mediante las leyes de Kirchhoff ¿no te parece?.

Comencemos fijando en nuestra mente algunas nociones básicas, mediante las cuales nos resultará más asequible el aprendizaje. Aquí me gustaría hacer un pequeño inciso.

Existe una gran diversidad de páginas en Internet y de libros escritos que hablan de este tema. Sin embargo, son muchos los que se contradicen en los aspectos básicos de las expresiones técnicas utilizadas.

Por ello, en este artículo vamos a definir la terminología según se enseña en los cursos de introducción al análisis de circuitos eléctricos de manera general. Cuando alguno de los términos expuestos se utilice para la resolución de circuitos mediante las Leyes de Kirchhoff lo indicaremos sobre la marcha.

Para empezar, trata de memorizar, pero sobre todo de comprender, los siguientes conceptos fundamentales y sus respectivas definiciones ¿OK?.

RESOLVER UN CIRCUITO: Es llegar a conocer las tensiones e intensidades de corriente que existen en cada uno de sus elementos, así como la polaridad y el sentido de cada una de ellas.

Creemos que está suficientemente claro ¿no?. ¡Seguimos...!.

NODO: Es un punto del circuito donde se conectan DOS o más conductores.

Esto significa que cualquier componente electrónico de dos terminales, una vez conectado a un circuito tendrá DOS NODOS. Por ejemplo, fíjate en el esquema siguiente (evidentemente solo sirve para ejemplificar el concepto). En total existen en él SEIS NODOS.

Por lo tanto y visto así, el primer circuito que te hemos presentado en este artículo tiene CUATRO NODOS, los cuales te hemos señalado en el esquema siguiente. Ten en cuenta que al nodo también se le suele llamar NUDO.

Sin embargo, el análisis de circuitos diferencia al nodo anterior con dos conductores del que tiene TRES o más conductores y a este último lo llama NODO ESENCIAL o PRINCIPAL.

NODO ESENCIAL: Es un punto del circuito donde se conectan TRES o más conductores. También se le conoce como NODO PRINCIPAL.

De esta manera y como ya hemos comentado, el esquema anterior contiene CUATRO NODOS, pero solo DOS de ellos son NODOS ESENCIALES. Observa que a los cuatro se les puede denominar simplemente NODOS, pero solo a dos de ellos se les puede llamar NODOS ESENCIALES. La figura siguiente te aclarará esto.

Los nodos de DOS conexiones son de uso frecuente y obligado en softwares de diseño y simulación de circuitos, como por ejemplo SPICE, el cual requiere que cada unión entre conexiones tenga un nombre exclusivo.

Sin embargo, y para dejar suficientemente claro este punto, en el estudio e implementación práctica de las leyes de Kirchhoff se usan exclusivamente los nodos de la segunda definición, o sea los NODOS ESENCIALES, pero con la particularidad de que simplemente se le llama NODO a secas, sin el adjetivo "esencial".

Por lo tanto, en el caso que nos ocupa, para resolver el circuito anterior mediante Kirchhoff solo tendríamos en cuenta DOS NODOS (los esenciales o principales), que son los que te mostramos a continuación.

Sigamos definiendo conceptos, recordándote que no todos ellos se usan al aplicar Kirchhoff. Cuando esto ocurra te lo haremos saber.

RAMA: Es la trayectoria que conecta DOS nodos consecutivos.

Según esta definición, un simple componente de dos terminales conectado al circuito constituye una RAMA. Concretamente, el circuito usado para plantear el problema del principio contiene un total de CINCO RAMAS. Míralas en la siguiente ilustración.

No obstante, aquí pasa algo parecido a lo que ocurre con la definición de NODO. En análisis se diferencia entre la RAMA creada mediante NODOS de la establecida entre NODOS ESENCIALES, y a esta última se la denomina RAMA ESENCIAL. Su definición es la siguiente

RAMA ESENCIAL: Es la trayectoria que conecta DOS NODOS ESENCIALES consecutivos.

De esta manera podemos afirmar que nuestro circuito tiene un total de TRES RAMAS ESENCIALES. Obsérvalas en la siguiente imagen.

La RAMA ESENCIAL es la que se usa en el estudio e implementación práctica de las leyes de Kirchhoff, pero tal y como ocurre con los nodos, con la particularidad de que simplemente se le llama RAMA a secas, sin el adjetivo "esencial". ¿Lo vas entendiendo?...

Creo que ya tenemos dos conceptos claros. Por lo tanto, y como diría un crupier... ¡Continuamos para bingo!.

LAZO: Es una TRAYECTORIA CERRADA que partiendo de cualquier NODO pasa a través de los elementos y de otros nodos del circuito UNA SOLA VEZ y FINALIZA en el NODO de PARTIDA.

Después de haber leido esta definición estaremos de acuerdo en que nuestro circuito tiene TRES LAZOS. Te los indicamos en la siguiente figura.

El lazo número 1 engloba a la batería de 10V mas las resistencias de 3 y 8 ohmios. El lazo número 2 se compone de la batería de 20V mas las resistencias de 5 y 8 ohmios. Y finalmente el lazo número 3 incluye a todos los componentes del circuito excepto a la resistencia de 8 ohmios. ¡Facil...! ¿no?.

Algo muy importante que debes saber es que existen unos lazos especiales. Son aquellos a los que podemos considerar como "ventanas" las cuales no tienen nada en su interior. Se les denomina MALLAS y se definen así

MALLA: Es un lazo que no contiene ramas ni otros lazos en su interior.

Se trata de circuitos cerrados "limpios". En su exterior pueden coexistir más elementos, pero en su interior no contienen ninguno. Te enseñamos las DOS MALLAS con que cuenta nuestro circuito.

Las MALLAS son los lazos que se usan para resolver circuitos mediante Kirchhoff. Y con este concepto terminamos las definiciones.

A partir de aquí, a los efectos de conseguir una mayor claridad expositiva y si no se especifica lo contrario, al hablar de NODO nos estaremos refiriendo a un NODO ESENCIAL y al hablar de RAMA nos referiremos a una RAMA ESENCIAL. El concepto de MALLA no tiene más que una acepción.

Por lo tanto, para resumir y recapitular te recordamos cuales serán los conceptos que vamos a usar a partir de ahora. Estos son el NODO, la RAMA y la MALLA.

LAS DOS FAMOSAS LEYES
Ya tenemos todo lo necesario para poder analizar y entender las dos leyes que promulgó este señor. Veamos cuales son y como se aplican a los circuitos eléctricos. Comenzaremos por la que consideramos más sencilla. Se trata de la LEY DE LAS CORRIENTES, también conocida como LEY DE LOS NODOS.

LEY DE LOS NODOS: La suma de las corrientes que entran en un NODO es igual a la suma de las corrientes que salen de él.

Estoy seguro que un buen amigo mio, el cual trabaja en el campo como agricultor, al oir la ley anterior exclamaría... "¡Es lógico!... porque todo lo que entra tiene que salir".

Bromas aparte, seguidamente representamos graficamente esta idea mediante unos cuantos ejemplos. Empecemos con nodos de TRES conductores.

Si suponemos que las corrientes que entran en un nodo son POSITIVAS (+) y las que salen son NEGATIVAS (-), podríamos expresar estas fórmulas como una suma algebraica cuyo resultado sería CERO.

Por ejemplo, la primera de ellas (I₁ = I₂ + I₃) podríamos escribirla como

I₁ - I₂ - I₃ = 0

Veamos ahora un par de esquemas con nodos de CUATRO conductores.

Algebraicamente, la primera de las expresiones (I₁ + I₂ = I₃ + I₄) se escribiría así

I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 0

Y la segunda expresión (I₄ = I₁ + I₂ + I₃) se escribiría así

I₄ - I₁ - I₂ - I₃ = 0

Continuamos adelante con la segunda de las leyes, llamada LEY DE LAS TENSIONES o LEY DE LAS MALLAS.

LEY DE LAS MALLAS: En toda MALLA se cumple que la suma ALGEBRAICA de las tensiones de todos sus generadores (f.e.m.) y de las caídas de tensión de todas sus resistencias es igual a CERO.

Esta misma ley se podría escribir de la siguiente manera si no se tienen en cuenta los signos entre ambos grupos de tensiones.

En toda MALLA se cumple que la suma de las tensiones de todos sus generadores (f.e.m.) es igual a la suma de las caídas de tensión de todas sus resistencias.

Estas definiciones parecen más peliagudas que la de los nodos... ¿no?. Para entender como tenemos que proceder al aplicarlas, será mejor que analicemos primero algunas cosas relativas a los términos caída de tensión, f.e.m. (fuerza electromotriz), polaridad y sentido de la corriente.

Normalmente, al analizar un circuito se considera el sentido CONVENCIONAL de la corriente eléctrica, es decir, se supone que esta sale desde el POSITIVO de la batería y recorre el circuito hasta entrar por el NEGATIVO de la misma batería.

Para poder aplicar la ley de las MALLAS de Kirchhoff es necesario establecer un sistema de signos que nos indique la polaridad de las tensiones existentes en el circuito. Por esta razón tenemos que conocer la diferencia entre una caída de tensión y la tensión que genera la f.e.m. de una batería.

Como sabes, al voltaje que aparece en bornes de una resistencia cuando a través de ella circula una corriente eléctrica se le denomina "caída de tensión". La resistencia es un componente pasivo o receptor y como tal no contribuye con ningún tipo de energía eléctrica. Todo lo que hace es "oponerse" al paso de la corriente y provocar una "bajada o caída de tensión" en el circuito.

Todo lo contrario ocurre con una batería o una pila, ya que estos últimos componentes si son productores de energía eléctrica y la suministran al circuito al que se conectan. Estos dispositivos generan una tensión, tanto más elevada cuanto más alta sea su f.e.m., y la aplican al circuito.

Pues bien, si decimos que una resistencia, que es un componente pasivo, provoca una "caída de tensión", podremos también decir que una batería o pila, que es un generador y un componente activo, provoca una "subida o elevación de tensión". Para poder captar el punto lee el texto siguiente echándole un vistazo al esquema eléctrico que te mostramos a continuación.

Si con nuestro polímetro, y tomando como punto de partida y referencia común el negativo de la batería, o sea el punto "A", vamos "viajando" a través del circuito en el sentido de las agujas del reloj y vamos midiendo tensiones en los puntos señalados con letras, observaremos lo siguiente:

1. En el punto "B" medimos una tensión (con respecto al punto "A") de +10 voltios. Como el punto "A" tiene CERO voltios existe una "elevación de tensión" de 10 voltios entre los bornes de la batería. Concretamente esta es la tensión que genera la f.e.m. de la batería "BAT".

2. En el punto "C" se mide con el polímetro una tensión (siempre con respecto al punto "A") de +5 voltios. Por lo tanto existe una "caída de tensión" de 5 voltios con respecto al punto "B", que recordemos tiene +10 voltios. Dicha caída de tensión está introducida por la resistencia de 5 ohmios R1.

3. En el punto "D" medimos con el polímetro +2 voltios (insistimos, con respecto al punto "A"). Por lo tanto vuelve a existir otra "caida de tensión" en esta ocasión de 3 voltios, ahora con respecto al punto "C" que tiene +5 voltios. Esta caida de tensión la produce la resistencia de 3 ohmios R2.

4. Por último, en el punto "E" medimos CERO voltios (perdona que vuelva a insistir, con respecto al punto "A"). Se trata de otra "caida de tensión", en esta ocasión de 2 voltios con respecto al punto "D", producida por la resistencia de 2 ohmios R3.

Después de leer esto, seguro que te habrás dado cuenta de que el punto "B" es más positivo que el "C", concretamente 5 voltios (10 - 5 = 5). Esto quiere decir que "C" es negativo con respecto a "B" y viceversa, o sea, que "B" es positivo con respecto a "C". Si colocamos entre estos dos puntos nuestro polímetro veremos que este nos marca esos 5 voltios. El positivo (+) de esta tensión estará en el punto "B" y el negativo (-) en el "C".

Lo mismo ocurre entre los puntos "C" y "D". Al ser el primero más positivo que el segundo, si colocamos entre ellos nuestro polímetro podremos medir los 3 voltios (5 - 2 = 3) que caen en la resistencia R2. Como "C" es más positivo que "D", equivale a decir que "D" es negativo con respecto a "C", de manera que el polo positivo (+) de esos 3 voltios estará en "C" y el negativo (-) en "D".

En los puntos "D" y "E" ocurre exactamente lo mismo y entre ellos se detecta una "caida de tensión" de 2 voltios provocada por la resistencia de 2 ohmios R3. La cosa queda como puedes ver a continuación en la siguiente figura.

Observa como en las caídas de tensión de las resistencias, el polo positivo es el lado por donde se supone que entra la corriente (sentido convencional). Memoriza esto porque te hará falta recordarlo más adelante.

Ahora fíjate, y esto es muy importante, como las polaridades de las caídas de tensión en las resistencias se oponen a la polaridad de la tensión de la batería, ya que sus polos positivos (+) están enfrentados. Por lo tanto, para efectuar los cálculos algebraicos mediante la aplicación de la ley de las MALLAS de Kirchhoff consideraremos el signo del valor de tensión de la batería como positivo (+) y el signo del valor de las caidas de tensión en las resistencias como negativo (-).

Mediante el ejemplo anterior hemos querido transmitirte que, a la hora de escribir una expresión matemática, la tensión de la batería del circuito anterior es de +10 voltios, y las caídas de tensión en las resistencias de R1, R2 y R3 son -5, -3 y -2 voltios respectivamente. ¿Queda claro?.

Con esto, además de haber entendido la diferencia entre la f.e.m. o "elevación de tensión" de los generadores y la "caida de tensión" producida por las resistencias, también has debido asimilar correctamente la particularidad de sus polaridades respectivas.

Ahora SI estás preparado para aplicar la ley de las MALLAS de Kirchhoff, y vamos a exponerte como primer ejemplo el mismo que estamos tratando, ya que el circuito es una MALLA. La ecuación de esta MALLA, así se llama a la expresión algebraica que vamos a escribir ahora, es la siguiente según la ley de Kirchhoff

VBAT - VR1 - VR2 - VR3 = 0

Esta expresión significa, de acuerdo con lo que te hemos explicado antes, que la suma algebraica de la tensión de la batería (V_BAT) y las caídas de tensión en las respectivas resistencias (V_R1, V_R2 Y V_R3) es igual a CERO.

Esto mismo podemos expresarlo como una igualdad entre la tensión de la batería y la suma de las caídas de tensión en las resistencias

VBAT = VR1 + VR2 + VR3

Veamos un segundo ejemplo algo más complicado. Podemos desarrollarlo a partir del esquema que hemos usado desde el principio de este artículo. Te lo mostramos de nuevo a continuación.

Lo primero que debemos hacer es indicar en el esquema el sentido de las corrientes que circulan a su través. Como resulta que en principio no conocemos ese dato, lo que hacemos es indicar un sentido arbitrario, o sea, el que nosotros creamos que tienen.

Esto no tendrá ningún efecto en el resultado final, ya que si nos hemos equivocado y el sentido verdadero es contrario al que nosotros hemos indicado, el signo del valor que obtengamos al concluir el cálculo para esa corriente concreta será negativo, y eso nos advertirá del error. No obtante, aunque el sentido sea el contrario, el valor que obtengamos SI será el correcto.

Vamos por tanto a marcar los sentidos de las corrientes que en un principio nos parezcan los adecuados. Sabemos que el circuito tiene TRES RAMAS. Por lo tanto, existirán TRES corrientes distintas. Las señalaremos como I₁, I₂ e I₃.

Estas corrientes producirán en cada una de las resistencias unas determinadas caidas de tensión, con las polaridades indicadas en la siguiente figura. ¿Recuerdas lo que dijimos a este respecto unos párrafos más arriba?. Te lo repetimos: en las caídas de tensión de las resistencias, el polo positivo es el lado por donde se supone que entra la corriente (sentido convencional).

Como ya hemos mencionado este circuito tiene TRES RAMAS por las que circulan TRES intensidades de corriente distintas (una por cada rama). Estas intensidades de corriente son TRES incógnitas que queremos despejar para determinar su valor. Para ello nos hará falta establecer un SISTEMA de TRES ECUACIONES simultáneas e independientes.

Lo siguiente es interesante que lo memorices para la resolución de cualquier circuito por Kirchhoff

Por cada RAMA existe una corriente, por cada CORRIENTE existe una incógnita y por cada INCÓGNITA hay que establecer una ecuación.

Para obtener la primera de las TRES ECUACIONES echaremos mano de la ley de los NODOS. Usaremos por ejemplo el nodo marcado como "A" en el esquema (podríamos usar uno cualquiera de los dos nodos existentes. Luego te explicaremos por qué). De este nodo obtenemos

I2 = I1 + I3

Esta fórmula puede expresarse como sigue, cambiando los términos de miembro y según hemos explicado antes

I1 - I2 + I3 = 0

Ya tenemos la primera de las ecuaciones necesarias. Para obtener las otras dos acudiremos a la ley de las MALLAS. Sabemos que nuestro circuito posee DOS MALLAS. El siguiente paso es recorrerlas una a una, preferiblemente en el sentido que nos marque la corriente convencional del generador que incluya, o de uno de ellos si son varios. Al recorrerla, iremos escribiendo la ecuación de la MALLA de acuerdo a las polaridades que vayamos encontrando en los generadores y las resistencias que incluye.

Queremos dejarte claro que este "recorrido" que hacemos por la MALLA no tiene nada que ver con el que "recorre" la corriente convencional en el circuito. Se trata de dos cosas distintas ¿OK?.

La malla de la izquierda la recorreremos en el sentido de las agujas del reloj y la de la derecha la recorreremos al contrario.

Comenzando desde el negativo de la batería BAT₁ con CERO voltios y "viajando" a través de ella nos encontramos 10 voltios positivos en su otro extremo, lo que significa una "elevación de la tensión" que representamos con signo positivo (+10).

Continuamos en R₁ y observamos, según el sentido de la corriente que la atraviesa y la polaridad que hemos marcado, que en ella existe una "elevación de tensión", y no una caída, ya que "entramos" con polaridad negativa (signo -) y "salimos" con polaridad positiva (signo +). Recordemos que estamos recorriendo la MALLA en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto anotaremos una tensión positiva que indicamos como +V_R1.

Llegamos ahora a R₃. "Entramos" en ella con polaridad positiva (signo +) y "salimos" con polaridad negativa (signo -) por lo que en este caso SI que estamos ante una "caída de tensión". Anotamos entonces una tensión negativa que registraremos como -V_R3.

Con estos datos ya podemos establecer la segunda ecuación del circuito de la siguiente manera, según la ley de las MALLAS

10 + VR1 - VR3 = 0

Como resulta que no conocemos las tensiones que caen en las resistencias pero si el valor de estas, podemos aplicar la ley de Ohm (V = R · I) para obtener la siguiente ecuación

10 + R1I1 - R3I3 = 0

Y sustituyendo ahora el valor de cada una de las resistencias tenemos lo siguiente

10 + 3I1 - 8I3 = 0

Pasamos el 10 al segundo miembro con signo menos y añadimos el término correspondiente a I₂ con valor CERO para completar la ecuación y que no influya en el resultado

3I1 + 0I2 - 8I3 = -10

Y con esto ya hemos conseguido la segunda de las TRES ecuaciones que nos hacen falta para resolver el circuito. ¡Vamos a por la tercera y última ecuación!.

Comenzamos el recorrido de la MALLA desde el negativo de la batería BAT₂ con CERO voltios y en sentido contrario de las agujas del reloj. En el otro extremo de la batería nos encontramos con una tensión positiva de 20 voltios. Se trata de una "elevación de tensión" y la registramos con signo positivo (+20).

Seguidamente topamos con R2. "Entramos" con polaridad positiva y "salimos" con negativa. Por lo tanto hay una "caida de tensión" y la anotamos con signo menos (-VR2).

Ahora vemos a R3. Tiene las mismas polaridades que R2 por lo que al tratarse de una "caida de tensión" la registramos también con signo menos (-VR3).

Según la ley de las MALLAS tenemos lo siguiente

20 - VR2 - VR3 = 0

Sustituimos los términos que indican las caidas de tensión en las resistencias, según Ohm

20 - R2I2 - R3I3 = 0

Sustituimos R₂ y R₃ por los valores correspondientes de las resistencias

20 - 5I2 - 8I3 = 0

Cambiamos algunos términos de miembro y añadimos el término correspondiente a I₁ con valor CERO para que no afecte al resultado

0I1 + 5I2 + 8I3 = 20

Y ya tenemos la ecuación que nos faltaba. El sistema de TRES ecuaciones que tendremos que resolver es el siguiente

I1 - I2 + I3 = 0
3I1 + 0I2 - 8I3 = -10
0I1 + 5I2 + 8I3 = 20

Pasamos a continuación a mostrarte la resolución de este sistema de ecuaciones mediante una de las varias maneras de hacerlo.

La primera ecuación la podemos expresar de la siguiente manera pasando al segundo miembro I₂ e I₃

I1 = I2 - I3

Si ahora sustituimos en la segunda ecuación nos queda

3(I2 - I3) + 0I2 - 8I3 = -10

Realizando la multiplicación del paréntesis obtenemos

3I2 - 3I3 + 0I2 - 8I3 = -10

Reduciendo términos comunes y eliminando 0I₂ obtenemos lo siguiente

3I2 - 11I3 = -10

Y ahora, de la tercera ecuación eliminamos 0I₁ con lo cual nos queda

5I2 + 8I3 = 20

Y así conseguimos un sistema con solo dos ecuaciones

3I2 - 11I3 = -10
5I2 + 8I3 = 20

Multiplicamos por -5 la primera ecuación y por +3 la segunda y tenemos lo siguiente

-15I2 + 55I3 = 50
15I2 + 24I3 = 60

Eliminamos de ambas ecuaciones el primer término del miembro izquierdo al tener el mismo valor pero signos diferentes y hacemos la suma del resto

79I3 = 110

Despejamos I3 y obtenemos su valor

I3 = 110 / 79 = 1,39 Amp

El valor de I₂ lo podemos calcular, por ejemplo, de la segunda ecuación (5I₂ + 8I₃ = 20) despejando dicho término y sustituyendo el resultado anterior

I2 = (20 - 11,12) / 5 = 1,77 A

Y por último el valor de I₁ lo deducimos de la ecuación de los nodos (I₁ - I₂ + I₃ = 0) despejando I₁ (I₁ = I₂ - I₃)

I1 = 1,77 - 1,39 = 0,38 A

Una vez conocidas las intensidades de corriente de cada rama se puede calcular el voltaje que cae en cada resistencia mediante la ley de Ohm

VR1 = 3 x 0,38 = 1,14 V
VR2 = 5 x 1,77 = 8,85 V
VR3 = 8 x 1,39 = 11,12 V

Además, podemos incluso calcular la potencia de disipación de cada resistencia aplicando la fórmula P = V x I

PR1 = 1,14 x 0,38 = 0,43 W
PR2 = 8,85 x 1,77 = 15,66 W
PR3 = 11,12 x 1,39 = 15,45 W

Seguidamente te dejamos un video como complemento de este artículo y mediante el cual, si lo deseas, podrás comprobar la exactitud de los resultados obtenidos. Además, después de visualizarlo quizás podrás ver las cosas mas claras.

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No queremos terminar sin comentarte el asunto relativo a la elección de las ecuaciones de NODOS y MALLAS. Pongamos por ejemplo un circuito como el que te mostramos a continuación.

Como seguramente habrás comprobado ya, este circuito contiene CUATRO NODOS, SEIS RAMAS y TRES MALLAS. Sabemos que para resolver un circuito con SEIS RAMAS como este debemos elaborar un total de SEIS ECUACIONES independientes, pero... ¿Como podemos saber de donde sacar dichas ecuaciones?. ¿Cuantas extraer de los NODOS?. ¿Cuantas de las MALLAS?.

A este respecto debes saber que de todos los nodos existentes en un circuito, la ecuación de uno cualquiera de ellos es linealmente dependiente del resto, o sea, que está incluida en el conjunto de las ecuaciones de los demás nodos y, por lo tanto, la información que de él puede extraerse es redundante.

Por esta razón, el número de ecuaciones a extraer de los nodos está dada por la siguiente fórmula, siendo "N" el número de nodos que incluye el circuito a analizar

Ecuaciones a extraer de los NODOS = N - 1

Como el número de ecuaciones necesarias para analizar el circuito es igual al número de RAMAS, la cantidad de ecuaciones a extraer de las MALLAS viene dada por la fórmula

Ecuaciones a extraer de las MALLAS = R - (N-1)

donde "R" es el número de RAMAS.

Aplica estas fórmulas al último circuito que te hemos puesto como ejemplo y comprobarás que de los CUATRO NODOS deberemos descartar uno de ellos para extraer las TRES primeras ecuaciones. Las ecuaciones restantes, que también son TRES, hemos de buscarlas en las MALLAS.

Y por fin acabamos este largo y extenso artículo. Esperamos no haberte aburrido demasiado. Nos alegraremos mucho si tus dudas sobre las leyes de Kirchhoff han sido completamente despejadas.

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Muchas gracias.